Calculs trigonométriques

Bonjour à tous,

A la demande d'un forumeur, j'ai fait ce petit tuto concernant les calculs trigonométriques utilisés pour calculer les angles et les longueurs dans un triangle rectangle.

Trigonométrie

Dans un triangle rectangle (donc qui à un angle droit), il suffit de connaître seulement 2 informations pour pouvoir calculer toutes les autres. (2 longueurs ou un angle et une longueur)



Quelques définitions:

Le coté se trouvant à l'opposé d'un des deux angles (non droit) s'appelle le coté … opposé à cet angle.

Sur la figure ci-dessus, le segment BC est le coté opposé à l'angle Alpha, et le segment AB est le coté opposé de l'angle Bêta.

Le coté opposé à l'angle droit s'appelle l’hypoténuse.

De la même manière, il y a deux cotés adjacents à chacun des deux angles, (c.a.d qu'un des coté d'un segment arrive dans l'angle en question), l'un de ces deux coté étant toujours l'hypoténuse ; l'autre s'appellera donc le coté adjacent.

Sur la figure ci-dessus, le segment AB est le coté adjacent de l'angle Alpha, et le segment BC est le coté adjacent de l'angle Bêta.

Les formules:

Sinus de l'angle = coté opposé / hypoténuse

Cosinus de l'angle = coté adjacent / hypoténuse

Tangente de l'angle = coté opposé / coté adjacent


Exemple:

Les valeurs en rouge sont les valeurs connues, les autres ont simplement été "mesurées" sur Autocad pour contrôler la validité des calculs.



Dans ce cas, je connais un angle (24°) et la longueur de son coté adjacent (100)

la fonction Cosinus me permet de calculer la longueur de l'hypoténuse.

Cos(24°) = 100 / Hypoténuse, donc en passant les membres de l’équation dans l'autre sens, cela devient:

Hypoténuse = 100 / Cos(24°)

Il nous faut maintenant connaître la valeur du Cosinus de 24° ; soit à l'aide d'une calculatrice (taper 24 puis touche Cos), soit à l'aide d'une table trigonométrique comme ici par exemple.

Tables trigonométriques

Ici, on lis que le Cosinus de 24° est égale à 0.914. (la calculatrice donne 0.913545 …)

Notre calcul devient donc -> Hypoténuse = 100 / 0.913545 -> 109.463668 ce qui correspond bien à la mesure prise sur Autocad.

Pour calculer la longueur du coté opposé à l'angle de 24° (le segment de 44.523), on vas faire de même avec la fonction Sinus.

Sinus(24°) = coté opposé / hypoténuse (que l'on vient de calculer), soit en modifiant l'ordre des membre:

coté opposé = sinus(24°) * Hypoténuse

sinus 24° = 0.406736 (donné par la calculatrice)

coté opposé = 0.406736 * 109.463668 -> 44.522814 …

Pour ce 2ieme calcul, on aurait aussi pu utiliser la tangente.

Tangente(24°) = coté opposé / coté adjacent, soit en modifiant l'ordre des termes:

coté opposé = Tangente(24°) * coté adjacent

Tangente(24°) = 0.445228

Coté opposé = 0.445228 * 100 -> 44.5228

La valeur de l'angle restant peut se calculer par les mêmes méthodes.

Bêta étant l'angle restant.

Tangente(Bêta) = coté opposé / coté adjacent

Tangente(Bêta) = 100 / 44.522814 -> 2.246039 ….. soit la tangente d'un angle de 66°

Mais pour le 2ieme angle, il y a plus simple.

La somme des angles d'un triangle est toujours égale à 180°, donc sachant qu'il y a un angle de 24° et un de 90°, on a:

Bêta = 180 - 24 - 90 -> 66°.

Utilisation de la calculatrice.

Pour obtenir le sinus, le cosinus ou la tangente d'un angle, taper la valeur de l'angle en décimal, puis appuyer sur la touche Sin, Cos ou Tan.

Pour obtenir l'angle correspondant à un sinus, un cosinus ou une tangente, il s'agit généralement d'une "seconde" fonction, accessible par une touche supplémentaire.

Ces fonctions "inverses" sont souvent notées Sin-1 , Cos-1, Tan-1 mais peuvent aussi apparaître sous l'appellation ArcSin, ArcCos, ArcTan, Asin, Acos, Atan.

Par exemple sur la calculatrice de Windows en mode "Scientifique" pour connaître l'angle associé à un sinus de 0.40673664 … il faut d'abord cocher "Inv" avant de cliquer sur le bouton Sin.



Juste un rappel pour les programmeurs et utilisateurs de tableurs (je me fais toujours avoir avant de me le rappeler), les ordinateurs ne travaillent pas en degrés mais en radians, par exemple sur une calculatrice le sinus de 24° = 0.406736 mais si vous utiliser une formule sous Excel, Sin(24) fait … -0.9055 ce qui est faux… car Excel s'attendait à un angle en radian.

Radian = Degré * 2 * Pi / 360 -> soit pour un angle de 24° -> 0.41887902 Rad

Sin(0.41887902) donnera bien 0.4067 … sous Excel (ou dans n'importe quel langage de programmation)

Degré = Radian / (2 * Pi / 360) (n'oubliez pas les parenthèses !)


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++
David